Question

已知实数u，v，定义运算u*v=（u-1）v，设u=cosθ+sinθ，v=cosθ-sinθ-1，则当≤θ≤时，u*v是的值域为（ ）
A．
B．
C．[0，4]
D．

Answer 1

【答案】分析：首先利用条件求出u*v=（u-1）v=2（cos²θ-cosθ），然后设t=cosθ，并根据角的范围得出t∈[-，]，再由根据二次函数的图象特点可知值域即可．
解答：解：∵u=cosθ+sinθ，v=cosθ-sinθ-1
∴u*v=（u-1）v=（cosθ+sinθ-1）（cosθ-sinθ-1）=2（cos²θ-cosθ）
设t=cosθ 
∵≤θ≤，
t∈[-，]
∴u*v=2（t²-t）
∴根据二次函数的图象特点可知
当t=时，ymin=-
当t=-时，ymax=
∴u*v是的值域为[-，]
故选A．
点评：本题考查了余弦函数的定义域和值域，此题通过二次函数的特点求值域，解题过程中要注意定义域，属于中档题．