题目内容

3．某地区2006年至2012年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：
年份2006200720082009201020112012
年份代号t1234567
人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9
（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2006年至2012年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2014年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{t_i}-\overline t）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{t_i}-\overline t）}^2}}}}$．$\widehata=\overline y-\widehatb\overline t$．

分析 （Ⅰ）根据数据求出样本平均数以及对应的系数即可求y关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）根据条件进行估计预测即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）由题意得$\overline{t}$=4，$\overline{y}$=$\frac{2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9}{7}$=4.3，
$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{t_i}-\overline t）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{t_i}-\overline t）}^2}}}}$=$\frac{（-3）×（-1.4）+（-2）×（-1）+（-1）×（-0.7）+1×0.5+3×1.6+2×0.9}{（-3）^{2}+（-2）^{2}+（-1）^{2}+{1}^{2}+{2}^{2}+{3}^{2}}$=0.5．
$\widehata=\overline y-\widehatb\overline t$=4.3-0.5×4=2.3
即y关于t的线性回归方程为$\widehat{y}$=0.5t+2.3；
（Ⅱ）∵线性回归方程为$\widehat{y}$=0.5t+2.3；斜率k=0.5＞0，
可知2006年至2012年该地区农村居民家庭人均纯收入逐渐增加，平均增加0.5千元，
当t=9时，$\widehat{y}$=0.5×9+2.3=6.8；
预测该地区2014年农村家庭人均纯收入为6.8千元．

点评 本题主要考查线性回归方程的求解以及应用，根据数据求出相应的系数是解决本题的关键．考查学生的运算能力．

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