Question

（2006•宣武区一模）已知数列{a_n}的前n项和S_n满足Sn=

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4

(an+1)2，且a_n＞0
（Ⅰ）求a₁，a₂；
（Ⅱ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）令b_n=20-a_n，问数列{b_n}的前多少项的和最大？

Answer 1

分析：（I）根据Sn=

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(an+1)2，且a_n＞0，令n=1可求a₁的值，令n=2时，可求a₂的值；
（II）由Sn=

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4

(an+1)2，且a_n＞0可得当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1可得a_n-a_n-1=2，结合等差数列的通项公式即可求出{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）由b_n=20-a_n=21-2n可得S_n=-n²+20n=-（n-10）²+100，结合二次函数的性质可求和的最大值及取得最大值的条件．

解答：解：（I）∵a1=S1=

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4

(a1+1)2
∴a₁=1
又S2=a1+a2=

1

4

(a2+1)2
∴a₂=3…（3分）
（II）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

1

4

[(an+1)2-(an-1+1)2]=

1

4

(

a

2 n

-

a

2 n-1

)+

1

2

(an-an-1)

∴(an+an-1)(an-an-1-2)=0 ∵an+an-1≠0 ∴an-an-1=2

∴{a_n}是公差为2的等差数列
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1…（8分）
（III）b_n=21-2n，易见b₁＞0，{b_n}是递减数列
令

bn=21-2n≥0 bn+1=19-2n＜0

又n∈N^*，可得n=10
故{b_n}的前10项和最大…（13分）

点评：本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的项及数列的通项，等差数列的通项公式及求和公式的综合应用，解题的关键是能综合应用等差数列的综合知识，属于中档题．