Question

在△ABC中,A、B、C成等差数列,b=1.

求证:1＜a+c≤2.

Answer 1

分析:要证1＜a+c≤2,只需求a+c的取值范围,而已知B=60°,A+C=120°,故可用正弦定理把a+c转化成用A、C表示,b=1,B=60°,也可由余弦定理转化出关于a+c的等量关系式.

证法一:由正弦定理:==,

得a+c=sinA+sinC

=(sinA+sinC)

=［sinA+sin(120°-A)］

=2sin(A+30°),

∵0°＜A＜120°,

∴30°＜A+30°＜150°.

∴1＜2sin(A+30°)≤2.

证法二:∵B=60°,b=1,

∴a²+c²-b²=2accos60°.

∴a²+c²-1=ac.

∴a²+c²-ac=1.

∴(a+c)²+3(a-c)²=4.

∴(a+c)²=4-3(a-c)².

∵0≤a-c＜1,

∴0≤3(a-c)²＜3.

∴4-3(a-c)²≤4,即(a+c)²≤4.

∴a+c≤2.

又a+c＞1,

∴1＜a+c≤2.