Question

在△ABC中a、b、c分别是角A、B、C的对边，b=2，a=1，cosC=

3

4

（1）求边c 的值；
（2）求sin（2A+C）的值．

Answer 1

分析：（1）根据余弦定理，即可求边c 的值；
（2）利用两角和的正弦公式即可求sin（2A+C）的值．

解答：解：（1）∵b=2，a=1，cosC=

3

4

∴根据余弦定理可知c2=a2+b2-2accos?C=1+4-2×1×2×

3

4

=5-3=2，
即c=

2

；
（2）由cosC=

3

4

＞0，可得sinC=

1-cos2C

=

1-( 3 4 )2

=

7 16

=

7

4

，
∴由正弦定理

a

sin?A

=

b

sin?B

=

c

sin?C

可知：
sinA=

asinC

c

=

1

2

×

7

4

=

14

8

，
∴cosA=

5 2

8

，
sin2A=2sinAcosA=2×

14

8

×

5 2

8

=

5 7

16

，
cos2A=

1-sin22A

=

9

16

．
∴sin（2A+C）=sin2AcosC+cos2AsinC=

5 7

16

×

3

4

+

9

16

×

7

4

=

24 7

64

=

3 7

8

即sin（2A+C）=

3 7

8

．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，以及两角和的正弦公式，要求熟练掌握相应的公式，考查学生的计算能力．