Question

函数f（u）=u²+au+b-2，其中u=x+

1

x

(x∈R，x≠0)．
（1）求u的取值范围；
（2）若a、b是使f（u）=0至少有一个实根的实数，求a²+b²的最小值．

Answer 1

分析：（1）因为x∈R，x≠0，所以分x＞0和x＜0两种情况，利用均值不等式求解；
（2）因为涉及二次方程根的分布问题，所以利用二次函数图象与二次方程的关系，数形结合，讨论a、b的范围，从而求出a²+b²的最小值．

解答：解：（1）∵x∈R，x≠0，
∴当x＞0时，u=x+

1

x

≥2，当且仅当x=

1

x

，即x=1时取等号；
当x＜0时，u=-[（-x）+（-

1

x

）]≤-2，当且仅当-x=-

1

x

，即x=-1时取等号；
故u=x+

1

x

∈(-∞，-2]∪[2，+∞)；
（2）f（u）=u²+au+b-2至少有一个实根时，
①f（-2）•f（2）≤0得(a2+b2)min=

4

5

②

f(-2)≤0 f(2)≤0

，得

2+b-2a≤0 2+b+2a≤0

，b≤-2，a2+b2≥4
③对称轴|x|=|-

a

2

|＞2时，|a|＞4，a²+b²＞16
综合①②③得(a2+b2)min=

4

5

．

点评：本题主要考查基本不等式、一元二次函数、一元二次方程以及推理运算能力，运用了数形结合、分类讨论等思想方法，是高考考查的重点内容．