Question

如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，且，,，点分别为、、的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

解析试题分析：（1）线面平行的证明主要是走线面平行的判定定理这条路，因此必须在平面内寻找到一条与平行的直线，借助平几知识，这条直线不难找到；（2）在证明垂直关系时，如果几何证明有困难，也可从向量考虑；（3）求二面角的大小，主要是走向量这条路，它有固定步骤：首先求两个面的法向量，其次求法向量的余弦值进而得法向量的夹角，然后根据二面角是锐角还是钝角，决定其大小.
试题解析：（1）证明：连接，是的中点 ，过点，
为的中点，，
又面，面，平面；
（2）在直角中，，，，
棱柱的侧棱与底面垂直，且，以点为原点，以所在的直线为轴建立如图所示空间直角坐标系如图示，则，，，，，
，，
，；
（3）依题意得，，，，，，，，
设面的一个法向量为，
由，得，令，得，
同理可得面的一个法向量为，
故二面角的平面角的余弦值为.
考点：空间向量与立体几何.