Question

函数f（x）=（x²+bx+c）e^x在点M（0，f（0））处的切线方程是x+2y+1=0．
（1）求f（x）的表达式；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）求当f（x）取最小值时x的取值，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）=（x²+bx+c）e^x在点P（0，f（0））处的切线方程为2x+y+1=0，可求得f（0）的值，求导，令f′（0）=-2，解方程组可求得b，c的值，从而求出f（x）的表达式；
（2）令导函数f′（x）=0，求解，分析导函数的符号，可知函数的单调区间；
（3）根据（2）求出极值以及根据单调性可得函数的最小值．

解答：解（1）f′（x）=（2x+b）e^x+（x²+bx+c）e^x                                     2′
由于函数f（x）在点M（0，f（0））处的切线方程是x+2y+1=0．
故

0+2f(0)+1=0 f′(0)=b+c=- 1 2

解之得b=0，c=-

1

2

∴f（x）=（x²-

1

2

）e^x                                                          5′
（2）f′（x）=（x²+2x-

1

2

）e^x
令f′（x）=0，则x²+2x-

1

2

=0，得x₁=

-2+ 6

2

，x₂=

-2- 6

2

7′

x	（-∞，x2）	x2	（x2，x1）	x1	（x1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

9′
故f（x）的单调增区间是（-∞，-1-

6

2

]，[-1+

6

2

，+∞），单调减区间为[-1-

6

2

，-1+

6

2

]10′
（3）由（2）知，当x=-1+

6

2

时，f（x）取极小值，
f（-1+

6

2

）=[（-1+

6

2

）²-

1

2

]e^-1+

6

2

＜0                           12′
又∵当x∈（-∞，-1-

6

2

]，f（x）＞0
故当f（x）取最小值时，x=-1+

6

2

．                                      14′

点评：本题主要考查函数导数的几何意义和利用导数研究函数的极值和利用导数研究函数的单调性，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．