Question

已知椭圆C过点是椭圆的左焦点，P、Q是椭圆C上的两个动点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；

(3)设点A关于原点O的对称点是B，求|PB|的最小值及相应点P的坐标．

Answer 1

答案：
解析：

(1)设椭圆的方程为，由已知，得，解得 　　所以椭圆的标准方程为　　3分 　　(2)证明：设．由椭圆的标准方程为，可知 　　 　　同理　　4分 　　∵，∴ 　　∴　　5分 　　①当时，由，得 　　从而有 　　设线段的中点为，由　　6分 　　得线段的中垂线方程为　　7分 　　∴，该直线恒过一定点　　8分 　　②当时，或 　　 　　线段的中垂线是轴，也过点， 　　∴线段的中垂线过点　　10分 　　(3)由，得． 　　又，∴ 　　　　2分 　　∴时，点的坐标为　　14分