Question

已知椭圆C过点是椭圆的左焦点，P、Q是椭圆C上的两个动点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；

（3）设点A关于原点O的对称点是B，求|PB|的最小值及相应点P的坐标。

Answer 1

（1）（2）（3）

解析:

（1）设椭圆的方程为，由已知，得，解得

所以椭圆的标准方程为   …………3分

（2）证明：设。由椭圆的标准方程为，可知

同理………4分

∵，∴

∴…………5分

①当时，由，得

从而有

设线段的中点为，由         …………6分

得线段的中垂线方程为…………7分

∴，该直线恒过一定点…………8分

②当时，或

线段的中垂线是轴，也过点，

∴线段的中垂线过点…………10分

（3）由，得。

又，∴

…………12分

∴时，点的坐标为…………14分