Question

【题目】设函数 ，的导函数为.

（1）讨论函数的单调区间；

（2）对于曲线上的不同两点，，，求证：在内存在唯一的，使直线的斜率等于.

Answer 1

【答案】(1)a＞0时， 上单调递增，在上单调递减.时在（0，+∞）单调递减. (2)见证明

【解析】

（1）对a分两种情况讨论，利用导数求函数的单调区间；（2）即 只需证明，且唯一．再构造函数证明得解.

解：（1），

又的定义域为

当时，函数在区间上单调递减；

当时，

该函数在上单调递增，在上单调递减.

（2）∵，

∴，化简得

即

因此，要证明原命题成立，只需证明

，且唯一．

设， ①

则，

再设，，

∴，

∴在是增函数，

又，∴ ②

同理 ③

∵一次函数在上是增函数，

因此由①②③得在有唯一解，

故原命题成立．