Question

已知函数f（x）=4x³-3x²cosθ+cosθ，其中x∈R，θ为参数，且0≤θ＜2π，
（1）当cosθ=0时，判断函数f（x）是否有极值；
（2）要使函数f（x）的极小值大于零，求参数θ的取值范围；
（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f（x）在区间（2a-1，a）内都是增函数，求实数a的取值范围。

Answer 1

解：（1）当cosθ=0时，，则f（x）在（-∞，+∞）内是增函数，故无极值。
（2），
令f′（x）=0，得，
由（1），只需分下面两种情况讨论
①当cosθ＞0时，随x的变化，f′（x）的符号及f（x）的变化情况如下表：

因此，函数f（x）在处取得极小值且，
要使＞0，必有，
可得，由于0≤θ＜2π，故；
②当cosθ＜0时，随x的变化，f′（x）的符号及f（x）的变化情况如下表：

因此，函数f（x）在x=0处取得极小值f（0），且，
若f（0）＞0，则cosθ＞0，矛盾，所以当cosθ＜0时，f（x）的极小值不会大于零；
综上，要使函数f（x）在（-∞，+∞）内的极小值大于零，参数θ的取值范围为；
（3）由（2）知，函数f（x）在区间（-∞，0）与内都是增函数，
由题设，函数f（x）在（2a-1，a）内是增函数，
则a须满足不等式组，
由（2），参数时，，
要使不等式关于参数θ恒成立，必有，即；
综上，解得a≤0或，
所以a的取值范围是。