题目内容
已知600的二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AC=BD=DC=1则AB与β面所成角的正弦值为
．
| ||
| 4 |
| ||
| 4 |
分析：由题设知
2=（
+
+
）2=2，故AB=|
|=
．过点A作AE⊥β，交β于点E，连接DE，BE，则∠ABE就是AB与β面所成角．由此能求出AB与β面所成角的正弦值．
| AB |
| AD |
| DC |
| CB |
| AB |
| 2 |
解答：
解：∵600的二面角α-l-β中，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，
AC=BD=DC=1，
∴
2=（
+
+
）2
=
2+
2+
2+2
•
+2
•
+2
•
=1+1+1+2×1×1×(-
)=2，
∴AB=|
|=
．
过点A作AE⊥β，交β于点E，连接DE，BE，
则∠ABE就是AB与β面所成角．
∵AD⊥l，l?β，∴DE⊥l，∴∠ADE=60°，
∴AE=AD•sin60°=
，
∴sin∠ABE=
=
=
．
故答案为：
．
解：∵600的二面角α-l-β中，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，AC=BD=DC=1，
∴
| AB |
| AD |
| DC |
| CB |
=
| AD |
| DC |
| CB |
| AD |
| DC |
| AD |
| CB |
| DC |
| CB |
=1+1+1+2×1×1×(-
| 1 |
| 2 |
∴AB=|
| AB |
| 2 |
过点A作AE⊥β，交β于点E，连接DE，BE，
则∠ABE就是AB与β面所成角．
∵AD⊥l，l?β，∴DE⊥l，∴∠ADE=60°，
∴AE=AD•sin60°=
| ||
| 2 |
∴sin∠ABE=
| AE |
| AB |
| ||||
|
| ||
| 4 |
故答案为：
| ||
| 4 |
点评：本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，具本涉及到向量知识、三垂线定理、二面角等基本知识点，解题时要注意空间思维能力的培养．
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