Question

在60⁰的二面角α-l-β中，A∈α，B∈β，已知A、B到l的距离分别是2和4，且AB=10，A、B在l的射影分别为C、D．
求：（1）CD的长度；
（2）AB和棱l所成的角．

Answer 1

分析：（1）要求CD长，应将CD放在三角形中，过点C作BD的平行线，取CE=BD=4，根据余弦定理可求出AE的长，最后在直角三角形AEB求出BE长，而四边形BECD为矩形，即可求出所求；
（2）将l平移到BE，从而AB和棱l所成的角为∠ABE，然后在直角三角形AEB中，求出此角即可．

解答：解：（1）过点C作BD的平行线，取CE=BD=4，
∵AC⊥l，而CE⊥l，则∠ACE=60°
根据余弦定理可知cos∠ACE=

4+16-AE2

2×2×4

解得：AE=2

3

而三角形AEB为直角三角形，则BE=2

22

即CD=2

22

（2）∵BE∥l
∴AB和棱l所成的角为∠ABE
在直角三角形AEB中，cos∠ABE=

1

5

∴AB和棱l所成的角为arccos

1

5

．

点评：本题主要考查了两点的距离，以及异面直线所成角的求解，同时考查了转化与划归的思想，计算能力、推理能力，属于中档题．