Question

（2013•浙江二模）数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=a_n+n+1（n∈N^*），则

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2013

等于（　　）

• A．

  2012

  2013

• B．

  4024

  2013

• C．

  2013

  1007

• D．

  1006

  1007

Answer 1

分析：由所给的式子得a_n+1-a_n=n+1，给n具体值列出n-1个式子，再他们加起来，求出a_n，再用裂项法求出

1

an

，然后代入

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2013

进行求值，

解答：解：由a_n+1=a_n+n+1得，a_n+1-a_n=n+1，
则a₂-a₁=1+1，
a₃-a₂=2+1，
a₄-a₃=3+1，
…
a_n-a_n-1=（n-1）+1，
以上等式相加，得a_n-a₁=1+2+3+…+（n-1）+n-1，
把a₁=1代入上式得，a_n=1+2+3+…+（n-1）+n=

n(1+n)

2

，
∴

1

an

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2013

=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

2013

-

1

2014

）]
=2（1-

1

2014

）=

2013

1007

，
故选C．

点评：本题考查了累加法求数列的通项公式，以及裂项相消法求数列的前n项和，这是数列常考的方法，需要熟练掌握．