Question

如图，B为△APC的边AC上的一点，且AB=BC=a，∠APB=90°，∠BPC=45°，∠PBA=θ．
（1）求tanθ的值；
（2）求

PA

•

PC

的值．

Answer 1

分析：（1）先根据∠APB=90°，AB=a，∠PBA=θ，求PB的值，进而在△BPC中，利用正弦定理求得sinθ=2cosθ．进而求得tanθ的值．
（2）根据（1）中的sinθ=2cosθ，进而根据同角三角函数的基本关系求得sinθ和cosθ的值，进而求得PA和PB，利用余弦定理求得PC，最后根据向量积公式求得答案．

解答：解：（1）∵∠APB=90°，AB=a，∠PBA=θ，∴PB=acosθ．
又在△BPC中，BC=a，∠BPC=45°，∴∠BCP=θ-45°，
∴

a

sin45°

=

PB

sin(θ-45°)

，∴

a

sin45°

=

acosθ

sin(θ-45°)

，
∴sin45°cosθ=sin（θ-45°）．∴sinθ=2cosθ．tanθ=2．
（2）由（1）知sinθ=2cosθ，又sin²θ+cos²θ=1
∴sinθ=

2 5

5

，cosθ=

5

5

．∴PA=asinθ=

2 5 a

5

，PB=acosθ=

5 a

5

.
在△BPC中，BC=a，PB=

5 a

5

，
∴PC2=a2+(

5 a

5

)2-2a•

5 a

5

cos(π-θ)=

8a2

5

，∴PC=

2 10 a

5

.
从而

PA

•

PC

=|

PA

|•|

PC

|cos135°=

2 5 a

5

•

2 10 a

5

•(-

2

2

)=-

4a2

5

．

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．考查了学生对正弦定理和余弦定理的综合运用．