Question

【题目】已知函数.

（1）讨论当时，函数的单调性；

（2）当对任意的恒成立，其中.求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）在为增函数（2）

【解析】

（1）将代入函数解析式，可求得函数解析式及，由的单调性及导函数与函数单调性关系即可判断.

（2）由题意可知对任意的恒成立，求得，并构造函数，求得，可判断在上的单调性，从而可得存在，使得，进而可得，由可得方程，代入中，可由求得的取值范围.

（1）函数，

将代入，可得，则，.

当为单调递增函数，，

所以在为增函数；

（2）由已知有，其中，.

.

令，其中，.

由得在上单调递增.

又，当时，，

故存在，使得.

当时，，，在上单调递减；

当时，，，在上单调递增.

故.

由得，，即.

则.

令，由，，解得.

因为在上单调递增，，所以.

故，即，解得.