Question

在数列{a_n}中，已知a1=

4

3

，a2=

13

9

，当n≥2且n∈N^*时，有an+1=

4

3

an-

1

3

an-1．
（1）若b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）求证：对任意n∈N^*，都有

4

3

≤an＜

3

2

．

Answer 1

分析：（1）根据题意在数列{a_n}中，已知a1=

4

3

，a2=

13

9

，根据等比数列的性质，证明

bn

bn-1

等于一个常数即可；
（2）数列{b_n}是等比数列，an+1-an=(

1

3

)n+1，可得对a_n进行拆分，可得a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁，然后进行求和，再进行证明；

解答：解：（1）当n=1时，有b1=a2-a1=

13

9

-

4

3

=

1

9

…（1分）
当n≥2时，有

bn

bn-1

=

an+1-an

an-an-1

=

1 3 an- 1 3 an-1

an-an-1

=

1

3

故数列{b_n}是等比数列，其首项为b1=

1

9

，公比为q=

1

3

…（5分）
（2）由（1）知bn=

1

9

×(

1

3

)n-1=(

1

3

)n+1即an+1-an=(

1

3

)n+1…（6分）
故a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=(

1

3

)n+(

1

3

)n-1+…+(

1

3

)2+

4

3

=

1-( 1 3 )n+1

1- 1 3

=

3

2

[1-(

1

3

)n+1]…（10分）
当n∈N^*时，有0＜(

1

3

)n+1≤

1

9

，故

8

9

≤1-(

1

3

)n+1＜1，
故

4

3

≤

3

2

[1-(

1

3

)n+1]＜

3

2

，即

4

3

≤an＜

3

2

…（13分）

点评：此题主要考查等比数列的性质，是一道中档题，第二问对a_n进行拆分求和，考查的知识点比较全面；