Question

已知函数f（x）=x²+2ax-4，a∈R．
（1）若f（x）为偶函数，求a的值；
（2）若f（x）在[1，+∞）上为增函数，求a的取值范围；
（3）f（x）在[1，2]内的最小值为g（a），求g（a）的函数表达式．

Answer 1

分析：（1）利用函数是偶函数，建立方程f（-x）=f（x）的关系，即可求a．
（2）利用f（x）在[1，+∞）上为增函数，得到对称轴与x=1之间的关系，可求a的取值范围．
（3）讨论对称轴和区间[1，2]之间的关系，求g（a）的函数表达式．

解答：解：（1）∵f（x）=x²+2ax-4，∴若f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x），
即x²-2ax-4=x²+2ax-4，
∴-2ax=2ax恒成立，判断得a=0．
（2）∵函数f（x）=x²+2ax-4的对称轴为x=-a，
∴要使f（x）在[1，+∞）上为增函数，则-a≤1，
∴a≥-1．
（3）f（x）=x²+2ax-4=（x+a）²-4-a²，对称轴为x=-a．
①当-a＜1，即a＞-1时，f（x）在[1，2]递增，
f（x）_min=f（1）=2a-3．
②当-a＞2，即a＜-2时，f（x）在[1，2]递减，
f（x）_min=f（2）=4a．
③当-2≤a≤-1时，
f（x）_min=f（-a）=-4-a，．
综上g(x)=

2a-3，a＞-1 -a2-4，-2≤a≤-1 4a，a＜-2

．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，考查二次函数的图象和性质，综合性较强．