Question

【题目】已知数列中， .

（1）求证：数列是等比数列；

（2）若是数列的前项和，求满足的所有正整数.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）1和2．

【解析】试题分析：（1）要证明数列是等比数列，只需根据等比数列的定义，为此设，因此证明为常数即可；（2）首先要求的通项，由（1）可得出，即，则递推式可得，由于通项要分类，因此求数列的和时，我们也分类讲解， ，

，这是递减的，计算发现，又，同理可得，即满足题意的只有1和2两个数．

试题解析：（Ⅰ）设，

因为

==,

所以数列是以即为首项，以为公比的等比数列． 5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，即，

由，得，

所以，

．10分

显然当时， 单调递减，

又当时， ＞0，当时， ＜0，所以当时， ＜0；

，

同理，当且仅当时， ＞0，

综上，满足的所有正整数为1和2． 13分