题目内容

数列{an}的前n项和为Sn，首项a1=a，且an+1=2Sn+1，n∈N*
（1）若数列{an}是等比数列，求实数a的值；
（2）设bn=nan，在（1）的条件下，求数列{bn}的前n项和Tn；
（3）设各项不为0的数列{cn}中，所有满足ci•ci+1＜0的整数i的个数称为这个数列{cn}的“积异号数”，令cn=
bn-4
bn
(n∈N*)，在（2）的条件下，求数列{cn}的“积异号数”．
（1）由已知得an+1=2Sn+1，an=2Sn-1+1（n≥2，n∈N*），
两式相减得an+1-an=2（Sn-Sn-1）=2an，即an+1=3an（n≥2，n∈N*）．
又a2=2S1+1=2a1+1=3=3a1，所以a1=1
所以数列{an}是以1为首项，公比为3的等比数列；
（2）由（1）得，an=3n-1
∴bn=nan=n•3n-1
∴Tn=1+2•3+3•32+…+n•3n-1，
∴3Tn=1•3+2•32+…+（n-1）•3n-1+n•3n，
两式相减可得：-2Tn=1+3+32+…+3n-1-n•3n，
∴Tn=
2n-1
4
•3n+
1
4
；
（3）由（2）知，bn=n•3n-1，
∵cn=
bn-4
bn
(n∈N*)
∴C1=-3，C2=
1
3
，∴C1C2=-1＜0
∵Cn+1-Cn=
4
bn
-
4
bn+1
=
4(2n+3)
n(n+)•3n
＞0
∵C2=
1
3
＞0，∴n≥2时，Cn＞0
∴数列{cn}的“积异号数”为1．
练习册系列答案
相关题目
设等比数列{an}的公比q≠1，Sn表示数列{an}的前n项的和，Tn表示数列{an}的前n项的乘积，Tn（k）表示{an}的前n项中除去第k项后剩余的n-1项的乘积，即Tn（k）=
Tn
ak
（n，k∈N+，k≤n），则数列
SnTn
Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)
的前n项的和是
a12
2-q-q-1
（n+nq-
q-qn+1+1-q1-n
1-q
）
a12
2-q-q-1
（n+nq-
q-qn+1+1-q1-n
1-q
）
（用a1和q表示）
若数列{an}的通项an=
1
pn-q
，实数p，q满足p＞q＞0且p＞1，sn为数列{an}的前n项和．
（1）求证：当n≥2时，pan＜an-1；
（2）求证sn＜
p
(p-1)(p-q)
(1-
1
pn
)；
（3）若an=
1
(2n-1)(2n+1-1)
，求证sn＜
2
3
．
已知Sn是数列{an}的前n项和，an＞0，Sn=
a
2
n
+an
2
，n∈N*，
（1）求证：{an}是等差数列；
（2）若数列{bn}满足b1=2，bn+1=2an+bn，求数列{bn}的通项公式bn．
（2012•商丘二模）数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}的各项按如下规律排列：
1
2
，
1
3
，
2
3
，
1
4
，
2
4
，
3
4
，
1
5
，
2
5
，
3
5
，
4
5
…，
1
n
，
2
n
，…，
n-1
n
，…有如下运算和结论：
①a24=
3
8
；
②数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是等比数列；
③数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…的前n项和为Tn=
n2+n
4
；
④若存在正整数k，使Sk＜10，Sk+1≥10，则ak=
5
7
．
其中正确的结论是
①③④
①③④
．（将你认为正确的结论序号都填上）
给出下列命题：
①若数列{an}的前n项和Sn=2n+1，则数列{an}为等比数列；
②在△ABC中，如果A=60°，a=
6
，b=4，那么满足条件的△ABC有两解；
③设函数f（x）=x|x-a|+b，则函数f（x）为奇函数的充要条件是a2+b2=0；
④设直线系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），则M中的直线所能围成的正三角形面积都相等．
其中真命题的序号是
③
③
．

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