题目内容

设函数f（x）=Asin（2ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，-π＜φ≤π）在x=
π
6
处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为
π
2
．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f(x)-
3
≥0的解集；
（3）求函数g(x)=
4cos4x-2sin2x
f(x+
π
6
)
的值域．
分析：（1）依题意，其周期T=π，从而可求ω，由f（x）在x=
π
6
处取得最大值2，可求A；由
π
3
+φ=
π
2
+2kπ，k∈Z（-π＜φ≤π）可求φ；
（2）依题意，解不等式sin（2x+
π
6
）≥
3
2
，利用正弦函数的性质即可求得不等式的解集；
（3）经过化简整理，可得g（x）=cos2x+1，从而可求其值域．
解答：解：（1）由题设条件知f（x）的周期T=π，即
2π
2ω
=π，解得ω=1．------------------------（2分）
因f（x）在x=
π
6
处取得最大值2，所以A=2．
从而sin（2×
π
6
+φ）=1，
所以
π
3
+φ=
π
2
+2kπ，k∈Z．又由-π＜φ≤π得φ=
π
6
．
故f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+
π
6
）．----------------------------------------（4分）
（2）∵f（x）-
3
≥0，
∴sin（2x+
π
6
）≥
3
2
，…（5分）
∴
π
3
+2kπ≤2x+
π
6
≤2kπ+
2π
3
，k∈Z…（6分）
∴
π
12
+kπ≤x≤kπ+
π
4
，k∈Z…（7分）
∴原不等式的解集为{x|
π
12
+kπ≤x≤kπ+
π
4
，k∈Z}…（8分）
（3）g（x）=
4cos4x-2sin2x
f(x+
π
6
)

=
4cos4x-2sin2x
2cos(2x)

=
4cos4x+2cos2x-2
2(2cos2x-1)

=
(2cos2x-1)(2cos2x+2)
2(2cos2x-1)

=cos2x+1=------（10分）（cos2x≠
1
2
）------（11分），
因cos2x∈[0，1]，…（12分）
且cos2x≠
1
2
，…（13分）       
故g（x）的值域为[1，
3
2
）∪（
3
2
，2]------（14分）
点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，突出考查三角函数的恒等变换及化简求值，属于中档题．
练习册系列答案
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设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．数列{an}满足f（an+1）=
1f(-2-an)
（n∈N*）
（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得点（t，as）、（s，at）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，a n＞f（0）恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由．
设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．数列{an}满足f(an+1)=
1
f(-2-an)
(n∈N*)．
（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得点（t，as）、（s，at）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，an＞0恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若a1=f（0），不等式
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
＞
12
35
(1+logf(1)x)对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围．
设函数f（x）=
3x-1
x+1
．
（1）已知s=-t+
1
2
（t＞1），求证：f（
t-1
t
）=
s+1
s
；
（2）证明：存在函数t=φ（s）=as+b（s＞0），满足f（
s+1
s
）=
t-1
t
；
（3）设x1=
11
17
，xn+1=f（xn），n=1，2，…．问：数列{
1
xn-1
}是否为等差数列？若是，求出数列{xn}中最大项的值；若不是，请说明理由．
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（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得点（t，as）、（s，at）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，a n＞f（0）恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由．
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（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得点（t，as）、（s，at）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，an＞0恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若a1=f（0），不等式对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围．

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