Question

如图4，已知平面是圆柱的轴截面（经过圆柱的轴的截面），BC是圆柱底面的直径，O为底面圆心，E为母线的中点，已知

（I））求证：⊥平面；

（II）求二面角的余弦值．

（Ⅲ）求三棱锥的体积.

 

Answer 1

【答案】

（I））见解析（II）（Ⅲ）8

【解析】解：依题意可知， 平面ABC，∠＝90°，

方法1：空间向量法 如图建立空间直角坐标系，

因为＝4，

则

（I），

，∴，∴

，      ∴，∴

∵  平面 ∴ ⊥平面         （5分）

（II） 平面AEO的法向量为，设平面 B₁AE的法向量为

， 即       

令x＝2，则

∴

∴二面角B₁—AE—F的余弦值为                          （10分）

（Ⅲ）因为，∴， ∴

∵，

∴            (14 分)

方法2：

依题意可知， 平面ABC，∠＝90°，，∴

（I）∵，O为底面圆心，∴BC⊥AO，又∵B₁B⊥平面ABC，可证B₁O⊥AO， 

因为＝，则,∴

∴B₁O⊥EO，∴⊥平面；                                     （5分）

（II）过O做OM⊥AE于点M，连接B₁M，

∵B₁O⊥平面AEO，可证B₁M⊥AE，

∴∠B₁MO为二面角B₁—AE—O的平面角，

C₁C⊥平面ABC，AO⊥OC，可证EO⊥AO，

在Rt△AEO中，可求， 

在Rt△B₁OM中，∠B₁OM＝90°，∴

∴二面角B₁—AE—O的余弦值为                  （10分）

（Ⅲ）因为AB=AC，O为BC的中点，所以

  又平面平面，且平面平面，

所以平面,  故是三棱锥的高

∴       (14分)