题目内容
（2012•徐州模拟）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，半径分别为R，r（R＞r＞0）的两圆⊙O，⊙O1内切于点T，P是外圆⊙O上任意一点，连PT交⊙O1于点M，PN与内圆⊙O1相切，切点为N．求证：PN：PM为定值．
B．选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵M=
|
（1）求矩阵M的逆矩阵；
（2）求矩阵M的特征值及特征向量；
C．选修4-2：矩阵与变换
在平面直角坐标系x0y中，求圆C的参数方程为
|
| π |
| 4 |
| 2 |
D．选修4-5：不等式选讲
已知实数a，b，c满足a＞b＞c，且a+b+c=1，a2+b2+c2=1，求证：1＜a+b＜
| 4 |
| 3 |
分析：A．先作出两圆的公切线TQ，连接OP，O1M，利用切割线定理得比例关系式，再由弦切角定理知证得OP∥O1M，最后平行线分线段成比例即可证出
=
=
为定值．
B．（1）根据逆矩阵的计算公式直接写出矩阵M的逆矩阵；
（2）根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．
C．先将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，将圆C的参数方程化为普通方程，再利用直线和圆的位置关系结合点到直线的距离公式求解即可．
D．利用条件得到a，b是方程x2-（1-c）x+c2-c=0的两个不等实根，从而由根的判别式大于0得到c的范围，再结合（c-a）（c-b）=c2-（a+b）c+ab＞0，及a＞b＞c，最后得到-
＜c＜0，从而有1＜a+b＜
．
| PM |
| PN |
| PN |
| PT |
|
B．（1）根据逆矩阵的计算公式直接写出矩阵M的逆矩阵；
（2）根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．
C．先将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，将圆C的参数方程化为普通方程，再利用直线和圆的位置关系结合点到直线的距离公式求解即可．
D．利用条件得到a，b是方程x2-（1-c）x+c2-c=0的两个不等实根，从而由根的判别式大于0得到c的范围，再结合（c-a）（c-b）=c2-（a+b）c+ab＞0，及a＞b＞c，最后得到-
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
解答：解：
A．作两圆的公切线TQ，连接OP，O1M，
则PN2=PM•PT，所以
=
．…（3分）
由弦切角定理知，∠POT=2∠PTQ，∠MO1T=2∠PTQ，于是∠POT=∠MO1T，
所以OP∥O1M，…（6分）
所以
=
=
，所以
=
，…（8分）
所以
=
=
为定值． …（10分）
B．（1）M-1=
．…（4分）
（2）矩阵A的特征多项式为f(x)=
=(λ-2)(λ-4)-3=λ2-6λ+5，
令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为1或5，…（6分）
当λ=1时 由二元一次方程
得x+y=0，令x=1，则y=-1，
所以特征值λ=1对应的特征向量为α1=
．…（8分）
当λ=5时 由二元一次方程
得3x-y=0，令x=1，则y=3，
所以特征值λ=5对应的特征向量为α2=
．…（10分）
C．将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程得：x-y-4=0，…（3分）
将圆C的参数方程化为普通方程得：（x+1）2+y2=r2，…（6分）
由题设知：圆心C（-1，0）到直线l的距离为r，即r=
=
，
即r的值为
．…（10分）
D．因为a+b=1-c，ab=
=c2-c，…（3分）
所以a，b是方程x2-（1-c）x+c2-c=0的两个不等实根，
则△=（1-c）2-4（c2-c）＞0，得-
＜c＜1，…（5分）
而（c-a）（c-b）=c2-（a+b）c+ab＞0，
即c2-（1-c）c+c2-c＞0，得c＜0，或c＞
，…（8分）
又因为a＞b＞c，所以c＜0．所以-
＜c＜0，即1＜a+b＜
． …（10分）
A．作两圆的公切线TQ，连接OP，O1M，则PN2=PM•PT，所以
| PN2 |
| PT2 |
| PM |
| PT |
由弦切角定理知，∠POT=2∠PTQ，∠MO1T=2∠PTQ，于是∠POT=∠MO1T，
所以OP∥O1M，…（6分）
所以
| PM |
| PT |
| OO1 |
| OT |
| R-r |
| R |
| PN2 |
| PT2 |
| R-r |
| R |
所以
| PM |
| PN |
| PN |
| PT |
|
B．（1）M-1=
|
（2）矩阵A的特征多项式为f(x)=
|
令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为1或5，…（6分）
当λ=1时 由二元一次方程
|
所以特征值λ=1对应的特征向量为α1=
|
当λ=5时 由二元一次方程
|
所以特征值λ=5对应的特征向量为α2=
|
C．将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程得：x-y-4=0，…（3分）
将圆C的参数方程化为普通方程得：（x+1）2+y2=r2，…（6分）
由题设知：圆心C（-1，0）到直线l的距离为r，即r=
| |(-1)-0-4| | ||
|
5
| ||
| 2 |
即r的值为
5
| ||
| 2 |
D．因为a+b=1-c，ab=
| (a+b)2-(a2+b2) |
| 2 |
所以a，b是方程x2-（1-c）x+c2-c=0的两个不等实根，
则△=（1-c）2-4（c2-c）＞0，得-
| 1 |
| 3 |
而（c-a）（c-b）=c2-（a+b）c+ab＞0，
即c2-（1-c）c+c2-c＞0，得c＜0，或c＞
| 2 |
| 3 |
又因为a＞b＞c，所以c＜0．所以-
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
点评：本题主要考查一般形式的柯西不等式、圆的有关知识，逆变换与逆矩阵，考查运算求解能力还考查曲线的极坐标方程等基本知识．
练习册系列答案
相关题目
（2012•徐州模拟）选修4-1：几何证明选讲
（2012•徐州模拟）如图，△ABC是边长为