Question

在平面直角坐标系中，设△ABC的顶点分别为A（0，2），B（-1，0），C（2，0），圆M是△ABC的外接圆，直线l的方程是（2+m）x+（2m-1）y-3m-1=0（m∈R）
（1）求圆M的方程；
（2）证明：直线l与圆M相交；
（3）若直线l被圆M截得的弦长为3，求l的方程．

Answer 1

分析：（1）求出边AC、BC的垂直平分线方程，根据圆心M在这2条边的垂直平分线上，可得M（

1

2

，

1

2

），再求出半径MC的值，即可得到圆的标准方程．
（2）根据直线l经过定点N，而点N在圆的内部，即可得到直线和圆相交．
（3）由于直线截圆所得的弦长等于直径，可得直线过圆心，把圆心的坐标代入直线方程，求得m的值，即可得到直线的方程．

解答：解：（1）∵△ABC的顶点分别为A（0，2），B（-1，0），C（2，0），故线段BC的垂直平分线方程为x=

1

2

，
线段AC的垂直平分线为 y=x，再由圆心M在这2条边的垂直平分线上，可得M（

1

2

，

1

2

），
故圆的半径为|MC|=

(2- 1 2 )2+(0- 1 2 )2

=

3

2

，故圆的方程为 (x-

1

2

)2+(y-

1

2

)2=

9

4

．
（2）根据直线l的方程是（2+m）x+（2m-1）y-3m-1=0（m∈R），即m（x+2y-3）+2x-y-1=0，
由

x+2y-3=0 2x-y-1=0

 可得

x=1 y=1

，故直线经过定点N（1，1）．
由于MN=

1 4 + 1 4

=

2

2

＜r=

3

2

，故点N在圆的内部，故圆和直线相交．
（3）∵直线l被圆M截得的弦长为3，等于直径，故直线l经过圆心M，把点M的坐标代入直线l，
可得 （2+m）×

1

2

+（2m-1）

1

2

-3m-1=0，解得 m=-

1

3

，
故直线l的方程为

5

3

x-

5

3

y=0，即 x-y=0．

点评：本题主要考查求圆的标准方程，直线过定点问题，直线和圆的位置关系，属于中档题．