Question

四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形， ={2，－1，－4}，={4，2，0}，={－1，2，－1}.

（1）求证：PA⊥底面ABCD；

（2）求四棱锥P—ABCD的体积；

（3）对于向量a={x₁，y₁，z₁}，b={x₂，y₂，z₂}，c={x₃，y₃，z₃}，定义一种运算：

（a×b）·c=x₁y₂z₃+x₂y₃z₁+x₃y₁z₂－x₁y₃z₂－x₂y₁z₃－x₃y₂z₁，试计算（×）·的绝对值的值；说明其与四棱锥P—ABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算（×）·的绝对值的几何意义.

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）证明：∵=－2－2+4=0，∴AP⊥AB. 又∵=－4+4+0=0，∴AP⊥AD. ∵AB、AD是底面ABCD上的两条相交直线，∴AP⊥底面ABCD. （2）解：设与的夹角为θ，则 cosθ= V=||·||·sinθ·||= （3）解：|（×）·|=|－4－32－4－8|=48它是四棱锥P—ABCD体积的3倍. 猜测：|（×）·|在几何上可表示以AB、AD、AP为棱的平行六面体的体积（或以AB、AD、AP为棱的直四棱柱的体积）.