Question

已知函数f（x）=lg，
（Ⅰ）若f（x）为奇函数，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在（-1，5]内有意义，求a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断并证明f（x）的单调性．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）为奇函数，∴f（x）+f（-x）=0，即，∴，∴a=1．
（Ⅱ）∵若f（x）在（-1，5]内恒有意义，则在（-1，5]上恒成立，再由x+1＞0，
∴a-x＞0，∴a＞x在（-1，5]上恒成立，∴a＞5．
（Ⅲ）当a＞5时，f（x）在定义域上为减函数，…
由，得f（x）定义域为（-1，a）．
令-1＜x₁＜x₂＜a，由于==，
∵-1＜x₁＜x₂＜a，∴a-x₁＞a-x₂＞0，1+x₂＞1+x₁＞0，∴，
∴，∴，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），∴f（x₁）在（-1，a）为减函数．
分析：（Ⅰ）由f（x）为奇函数 可得f（x）+f（-x）=0，即，即，由此可得a的值．
（Ⅱ）由题意可得f（x）在（-1，5]上恒成立，再由x+1＞0，可得a-x＞0，故a＞x在（-1，5]上恒成立，由此可得a的范围．
（Ⅲ）当a＞5时，f（x）在定义域上为减函数，求得f（x）定义域为（-1，a）． 令-1＜x₁＜x₂＜a，由于==，可得f（x₁）＞f（x₂），从而得出结论．
点评：本题主要考查奇函数的定义和性质，对数函数的图象和性质应用，函数的恒成立问题，属于中档题．