Question

已知曲线 y=x³+x-2 在点 P处的切线 l₁ 平行直线4x-y-1=0，且点 P在第三象限，
（1）求P的坐标；
（2）若直线 l⊥l₁，且 l 也过切点P，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据曲线方程求出导函数，因为已知直线4x-y-1=0的斜率为4，根据切线与已知直线平行得到斜率相等都为4，所以令导函数等于4得到关于x的方程，求出方程的解，即为切点P的横坐标，代入曲线方程即可求出切点的纵坐标，又因为切点在第3象限，进而写出满足题意的切点的坐标；
（2）由直线l₁的斜率为4，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，得到直线l的斜率为-，又根据（1）中求得的切点坐标，写出直线l的方程即可．
解答：解：（1）由y=x³+x-2，得y′=3x²+1，
由已知得3x²+1=4，解之得x=±1．
当x=1时，y=0；
当x=-1时，y=-4．
又∵点P在第三象限，
∴切点P的坐标为（-1，-4）；
（2）∵直线 l⊥l₁，l₁的斜率为4，
∴直线l的斜率为-，
∵l过切点P，点P的坐标为（-1，-4）
∴直线l的方程为y+4=-（x+1）即x+4y+17=0．
点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，掌握两直线垂直时斜率的关系，会根据一点和斜率写出直线的方程，是一道中档题．