Question

已知函数f(x)=mx-

m

x

，g(x)=2lnx．
（1）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若x∈（1，e]时，不等式f（x）-g（x）＜2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）m=2时，f′（1）=4，从而可求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）mx-

m

x

-2lnx＜2恒成立，x∈（1，e]，?m＜

2x+2xlnx

x2-1

恒成立，构造函数G（x）=

2x+2xlnx

x2-1

，当x∈（1，e]时，可求得G′（x）＜0，即G（x）在x∈（1，e]时递减，可求G（x）在x∈（1，e]时的最小值．

解答：解：（1）m=2时，f（x）=2x-

2

x

，f′（x）=2+

2

x3

，f′（1）=4，（2分）
切点坐标为（1，0），
∴切线方程为y=4x-4（4分）
（2）由题意知，mx-

m

x

-2lnx＜2恒成立，即m（x²-1）＜2x+2xlnx恒成立，
∵x²-1＞0
则当x∈（1，e]时，m＜

2x+2xlnx

x2-1

恒成立，（7分）
令G（x）=

2x+2xlnx

x2-1

，当x∈（1，e]时，
G′（x）=

-2(x2+1)．lnx-4

(x2-1)2

＜0，（9分）
则G（x）在x∈（1，e]时递减，
∴G（x）在x∈（1，e]时的最小值为G（e）=

4e

e2-1

，（11分）
则m的取值范围是（-∞，

4e

e2-1

）（12分）

点评：本题考查利用导数求求切线方程，考查利用导数研究函数的单调性及闭区间上函数的最值，考查构造函数分析解决问题的能力，考查恒成立问题，突出转化思想与运算能力的考查，属于难题．