Question

已知函数f(x)=m(sinx+cosx)4+

1

2

cos4x在x∈[0，

π

2

]时有最大值为

7

2

，则实数m的值为

 

．

Answer 1

分析：利用同角三角函数的基本关系式以及二倍角公式化简函数f(x)=m(sinx+cosx)4+

1

2

cos4x二次函数，通过m的取值分别求出函数的最大值时m的值，即可得到结果．

解答：解：函数f(x)=m(sinx+cosx)4+

1

2

cos4x
=m（1+2sinxcosx）²+

1

2

cos4x
=m（1+2sin2x+six²2x）+

1

2

（1-2sin²2x）
=（m-1）sin²2x+2msin2x+m+

1

2

．
①当m=1时，函数化为：2sin2x+1+

1

2

．当sin2x=1时，函数取得最大值，2+1+

1

2

=

7

2

．满足题意．
②当m＞1时，函数化为：（m-1）（sin2x+

m

m-1

）²+

1

2

-

m

m-1

，当sin2x=1时，函数取得最大值，
可得m-1+2m+m+

1

2

=

7

2

，解得m=1，不满足题意．
③当m≤

1

2

时，

m

m-1

∈[-1，1]，当sin2x=-

m

m-1

时，函数取得最大值，此时

1

2

-

m

m-1

=

7

2

，解得m=

3

4

，不满足题意．
④当

1

2

＜m＜1时，sin2x=1时函数取得最大值，此时有m-1+2m+m+

1

2

=

7

2

，解得m=1不满足题意．
综上，m=1．
故答案为：1．

点评：本题考查三角函数的最值的应用，分类讨论思想的应用，考查计算能力．