Question

函数f（x）=2^x和g（x）=x³的图象的示意图如图所示，设两函数的图象交于点 A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂．
（1）请指出示意图中曲线C₁，C₂分别对应哪一个函数？
（2）证明：x₁∈[1，2]，且x₂∈[9，10]；
（3）结合函数图象的示意图，判断f（6），g（6），f（100），g（100）的大小，并按从小到大的顺序排列．

Answer 1

分析：（1）C₁对应的函数为g（x）=x³，C₂对应的函数为f（x）=2^x．
（2）令∅（x）=f（x）-g（x）=2^x-x³，则x₁，x₂为函数∅（x）的零点，根据∅（1）、∅（2）、∅（9）、∅（10）的符号，利用函数零点的判定定理可得x₁∈[1，2]，且x₂∈[9，10]． 
（3）从图象上可以看出，分当x₁＜x₂时和当x₁＞x₂时两种情况，结合函数的单调性可得f（6），g（6），f（100），g（100）的大小．

解答：解：（1）C₁对应的函数为g（x）=x³，C₂对应的函数为f（x）=2^x．…（4分）
（2）证明：令∅（x）=f（x）-g（x）=2^x-x³，则x₁，x₂为函数∅（x）的零点，
由于∅（1）=1＞0，∅（2）=-4＜0，∅（9）=2⁹-9³＜0，∅（10）=2¹⁰-10³＞0，
所以方程∅（x）=f（x）-g（x）的两个零点x₁∈（1，2），x₂∈（9，10），
x₁∈[1，2]，且x₂∈[9，10]． …（8分）
（3）从图象上可以看出，当x₁＜x₂时，f（x）＜g（x），
∴f（6）＜g（6）．…（10分）
当x₁＞x₂时，f（x）＞g（x），∴g（100）＜f（100），∵g（6）＜g（100），
∴f（6）＜g（6）＜g（100）＜f（100）．…（12分）

点评：本题主要考查函数的零点与方程根的关系，函数的单调性的应用，属于中档题．