Question

平面内一动点M，到抛物线y²=4x的焦点，以及这个焦点关于原点（0，0）对称点的距离之和为4，求动点M的轨迹．

Answer 1

分析：根据题意，求出抛物线的焦点坐标F（1，0），得到F关于原点的对称点为F'（-1，0）．因此，M的轨迹是以F、F'为焦点的椭圆，由椭圆的定义算出a、b之值，得到椭圆的方程，即为所求动点M的轨迹．

解答：解：∵抛物线y²=4x中，2p=4，得

p

2

=1，
∴抛物线的焦点为F（1，0），F关于原点的对称点为F'（-1，0）．
∵动点M到F、F'的距离之和等于4，
∴M的轨迹是以F、F'为焦点的椭圆，
椭圆的长轴2a=4且半焦距c=1，得a=2，b²=a²-c²=3，
∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1，即为动点M的轨迹方程．

点评：本题给出动点满足的条件，求轨迹方程．着重考查了椭圆的定义与标准方程、抛物线的简单几何性质等知识，属于基础题．