Question

（本题满分14分）

已知函数，，记

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）当时，若，比较：与的大小；

（Ⅲ）若的极值为，问是否存在实数，使方程

有四个不同实数根？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由。

 

 

 

 

 

Answer 1

解：（Ⅰ）的定义域为（0，+∞）， 又

 ， 当时，>0恒成立

∴在（0，+∞）上单调递增；   令得

当时，若， ∴在（0，）上单调递减；

若，，∴在（，+∞）上单调递增    

故时_，增区间为；

时，增区间为，减区间为（0，）。      ……4分

（Ⅱ）令，

则，所以在［1，+∞）

上单调递增，∴，∴                ……8分

（Ⅲ）由（Ⅰ）知仅当时，在＝处取得极值

由可得＝２，方程为

．．．，   令，得．．．

　由方程有四个不同的根，得方程有两个不同的正根，

令，当直线与曲线相切时，，得切点坐标（３，） ∴切线方程为，其在y轴上截距为；当直线在轴上截距时，和在y轴右侧有两个不同交点，所以k的取值范围为（，0）　            ……14分

 （注：也可用导数求解）