Question

【题目】已知函数，.

（Ⅰ）若在处取得极值，求的值；

（Ⅱ）若在区间上单调递增, 求的取值范围；

（Ⅲ）讨论函数的零点个数.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）当时，函数无零点，当或时，函数有一个零点，当时，函数有两个零点.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，由题意可得，即可解得，注意检验；（Ⅱ）由条件可得，在区间上恒成立，运用参数分离，求得右边函数的范围，即可得到的范围；（Ⅲ）令，求出导数，求出单调区间和最值，即可得到零点的个数.

试题解析：（Ⅰ）因为，

由已知在处取得极值，所以.

解得，经检验时，在处取得极小值.所以.…3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，.

因为在区间上单调递增，所以在区间上恒成立.

即在区间上恒成立. 所以.

（III）因为，所以，.

令得， 令，.

.

当时，，在上单调递增，

时，，在上单调递减.

所以.

综上：当时，函数无零点，

当或时，函数有一个零点，

当时，函数有两个零点.