Question

想象一下一个人从出生到死亡，在每个生日都测量身高，并作出这些数据的散点图，这些点将不会落在一条直线上，但在一段时间内的增长数据有时可以用线性回归来分析，下表是一位母亲给儿子做的成长记录：

年龄/周岁	3	4	5	6	7	8	9
身高/cm	91.8	97.6	104.2	110.9	115.6	122.0	128.5
年龄/周岁	10	11	12	13	14	15	16
身高/cm	134.2	140.8	147.6	154.2	160.9	167.5	173.0

(1)年龄(解释变量)和身高(预报变量)之间具有怎样的相关关系？
(2)如果年龄相差5岁，则身高有多大差异(3～16岁之间)?
(3)如果身高相差20 cm，其年龄相差多少(3～16岁之间)?
(4)计算残差，说明该函数模型是否能够较好地反映年龄与身高的关系，说明理由．

Answer 1

(1)＝6.286x＋72     (2) 31.4 cm     (3) 3(岁)    (4) 拟合效果较好

解：(1)设年龄x与身高y之间的回归直线方程为＝x＋，由公式＝得≈6.286，＝－≈72，所以＝6.286x＋72.
(2)如果年龄相差5岁，则预报变量变化6.286×5＝31.425，即身高相差约31.4 cm.
(3)如果身高相差20 cm，年龄相差Δx＝＝3.182≈3(岁)．
(4)

y	91.8	97.6	104.2	110.9	115.6	122.0	128.5
i	90.9	97.1	103.4	109.7	116.0	122.3	128.6
y	134.2	140.8	147.6	154.2	160.9	167.5	173.0
i	134.9	141.1	147.4	153.7	160.0	166.3	172.6

由表得R²＝1－≈0.999 7.由R²＝0.999 7，表明年龄解释了99.97%的身高的变化，拟合效果较好．