Question

甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产需占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入.在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足关系x=.

若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格),

(1)将乙方的年利润W(元)表示为年产量t(吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量;

(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002t²(元),在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格s是多少?

Answer 1

思路分析:本小题主要考查函数概念,运用导数求函数的最大值、最小值的方法,以及运用数学知识,建立简单数学模型并解决实际问题的能力.

解:(1)法一:因为赔付价格为s元/吨,

所以乙方的实际年利润为W=-st.

因为W=,

所以当t=()²时,W取得最大值.

所以乙方取得最大年利润的产量t=()²(吨).

法二:因为赔付价格为s元/吨,所以乙方的实际年利润为W=-st.

由W′=,

令W′=0得t=t₀=()².当t＜t₀时,W′＞0;当t＞t₀时,W′＜0,

所以当t=t₀时,W取得最大值.

因此乙方取得最大年利润的产量t₀=()²(吨).

(2)设甲方净收入为v元,则v=st-0.002t².

将t=()²代入上式,得甲方净收入v与赔付价格s之间的函数关系式

v=.

又v′=,

令v′=0,得s=20.

当s＜20时,v′＞0;当s＞20时,v′＜0.

所以当s=20时,v取得最大值.

因此甲方向乙方要求赔付价格s为20元/吨时,可获得最大净收入.

    深化升华 实际应用问题要根据题目条件,写出相应的关系式,这是解决此类问题的关键.要认真阅读,搞清问题的背景,建立相应的数学模型.