Question

甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系x=2000

t

．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格）．
（1）将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；
（2）甲方每年受乙生产影响的经济损失金额y=0.002t²（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？

Answer 1

分析：（1）由已知中赔付价格为s元/吨，所以乙方的实际年利润为w=2000

t

-st．我们利用导数法易求出乙方取得最大年利润的年产量
（2）由已知得，若甲方净收入为v元，则v=st-0.002t²．再由x=2000

t

．我们可以得到甲方净收入v与赔付价格s之间的函数关系式，利用导数法，我们易求出答案．

解答：解：（1）因为赔付价格为s元/吨，所以乙方的实际年利润为w=2000

t

-st．
由w′=

1000

t

-s=

1000-s t

t

，
令w'=0，得t=t0=(

1000

s

)2．
当t＜t₀时，w'＞0；当t＞t₀时，w'＜0，
所以t=t₀时，w取得最大值．
因此乙方取得最大年利润的年产量t₀为(

1000

s

)2（吨）；
（2）设甲方净收入为v元，则v=st-0.002t²．
将t=(

1000

s

)2代入上式，得到甲方净收入v与赔付价格s之间的函数关系式v=

106

s

-

2

s4

×109．
又v′=

106×(8000-s3)

s5

，
令v'=0，得s=20．
当s＜20时，v'＞0；当s＞20时，v'＜0，
所以s=20时，v取得最大值．
因此甲方应向乙方要求赔付价格s=20（元/吨）时，获最大净收入．

点评：函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．