题目内容

设x，y∈R， $数学公式$ 、为直角坐标系内x、y轴正方向上的单位向量，若 $数学公式$ =x $数学公式$ +（y+2） $数学公式$ ， $数学公式$ =x $数学公式$ +（y-2） $数学公式$ 且 $数学公式$ ²+ $数学公式$ ²=16．
（1）求点M（x，y ）的轨迹C的方程；
（2）过定点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设 $数学公式$ ，是否存在直线l使四边形OAPB为正方形？若存在，求出l的方程，若不存在说明理由．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ =x $\text{[math]}$ +（y+2） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =x $\text{[math]}$ +（y-2） $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ²+ $\text{[math]}$ ²=16， $\text{[math]}$ 为直角坐标系内x、y轴正方向上的单位向量，
∴x²+（y+2）²+x²+（y-2）²=16
∴点M（x，y ）的轨迹C的方程是x²+y²=4；
（2）假设存在直线l，设方程为y=kx+3，代入x²+y²=4可得（1+k²）x²+6kx+5=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ，x₁•x₂= $\text{[math]}$
由题意， $\text{[math]}$ ，则x₁•x₂+y₁•y₂=0
∴x₁•x₂+k²x₁•x₂+3k（x₁+x₂）+9=0
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +3k•（- $\text{[math]}$ ）+9=0
∴k= $\text{[math]}$
∴存在l且l的方程为y= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用向量的数量积公式，即可求得点M（x，y ）的轨迹C的方程；
（2）设出直线方程，代入圆的方程，结合韦达定理及向量的数量积公式，即可得到结论．
点评：本题考查轨迹方程，考查数量积公式的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．