Question

15．已知圆E过圆x²+y²+2x-4y-3=0与直线y=x的交点，且圆上任意一点关于直线y=2x-2的对称点仍在圆上．
（1）求圆E的标准方程；
（2）若圆E与y轴正半轴的交点为A，直线l与圆E交于B，C两点，且点H（$\sqrt{3}$，0）是△ABC的垂线（垂心是三角形三条高线的交点），求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意圆心$E（-1-\frac{λ}{2}，2+\frac{λ}{2}）$在直线y=2x-2上，由此能求出λ及圆E的标准方程．
（2）由题意设直线l的方程为y=x+m，由$\left\{{\begin{array}{l}{{{（x-1）}^2}+{y^2}=4}\\{y=x+m}\end{array}}\right.$，得2x²+2（m-1）x+m²-9=0，由此利用韦达定理、向量的数量积能求出所求直线的方程．

解答 解：（1）设圆E的方程为x²+y²+2x-4y-3+λ（x-y）=0，
由条件知圆心$E（-1-\frac{λ}{2}，2+\frac{λ}{2}）$在直线y=2x-2上，故$2+\frac{λ}{2}=2×（-1-\frac{λ}{2}）-2$，解得λ=-4．
于是所求圆E的标准方程为（x-1）²+y²=4．
（2）由题知$A（0，\sqrt{3}），H（\sqrt{3}，0）$，k_AH=-1，所以直线l的斜率为1，
设直线l的方程为y=x+m，B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由$\left\{{\begin{array}{l}{{{（x-1）}^2}+{y^2}=4}\\{y=x+m}\end{array}}\right.$，得2x²+2（m-1）x+m²-3=0，
故x₁+x₂=1-m，${x_1}{x_2}=\frac{{{m^2}-3}}{2}$，
又$\overrightarrow{HB}•\overrightarrow{AC}=（{x_1}-\sqrt{3}，{y_1}）•（{x_2}，{y_2}-\sqrt{3}）=（{x_1}-\sqrt{3}）{x_2}+{y_1}（{y_2}-\sqrt{3}）$=$（{x_1}-\sqrt{3}）{x_2}+（{x_1}+m）（{x_2}+m-\sqrt{3}）$
=$2{x_1}{x_2}+（m-\sqrt{3}）（{x_1}+{x_2}）+m（m-\sqrt{3}）=0$
代入得${m^2}+m-3-\sqrt{3}=0$，解得$m=-1-\sqrt{3}$或$m=\sqrt{3}$
当$m=\sqrt{3}$时，直线$l：y=x+\sqrt{3}$过点A，不合题意；
当$m=-1-\sqrt{3}$时，直线$l：y=x-1-\sqrt{3}$，经检验直线l与圆E相交，
故所求直线l的方程为$y=x-1-\sqrt{3}$．

点评 本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、韦达定理，向量数量积等知识点的合理运用．