Question

设函数f（x）=x（

1

2

）^x+

1

x+1

，A₀为坐标原点，A_n为函数y=f（x）图象上横坐标为n（n∈N^*）  的点，向量

an

=

n

k=1

Ak-1Ak

，向量

i

=(1，0)，设θ_n为向量

an

与向量

i

的夹角，则满足

n

k=1

tanθk＜

21

11

的最大整数n是

10

．

Answer 1

分析：先确定点A_n=（n，f（n）），再确定

an

，然后明确夹角θ_n，进一步表示出tanθ_n，最后可由列举法求出满足要求的最大整数n．

解答：解：∵A_n为函数y=f（x）图象上横坐标为n（n∈N^*）  的点
函数f（x）=x（

1

2

）^x+

1

x+1

，
∴A_n=（n，f（n）），
又∵向量

an

=

n

k=1

Ak-1Ak

，
∴

an

=

A0An

，
又∵向量

i

=(1，0)，θ_n为向量

an

与向量

i

的夹角，
则θ_n为直线A₀A_n的倾斜角，
所以tanθ_n=

f(n)

n

=（

1

2

）ⁿ+

1

n(n+1)

，
所以

n

k=1

tanθk=[

1

2

+

1

4

+…+（

1

2

）ⁿ]+（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=1-（

1

2

）ⁿ+1-

1

n+1

=

2n+1

n+1

-（

1

2

）ⁿ，
当n=10时，

10

k=1

tanθk=

21

11

-（

1

2

）¹⁰＜

21

11

当n=11时，

11

k=1

tanθk=

23

12

-（

1

2

）¹¹＞

21

11

故满足要求的最大整数n是10．
故答案为：10

点评：本题综合考查向量的夹角与运算及正切函数的定义与求值．