Question

【题目】设函数.若曲线在点处的切线方程为

（为自然对数的底数）.

（1）求函数的单调区间；

（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) 函数的单调递减区间是，单调递增区间是

(2)

【解析】试题分析：（1）第（1）问，先根据曲线在点处的切线方程为

求出m=1,n=0，再利用导数求函数f(x)的单调区间.(2)第（2）问，先把原命题转化为函数对任意恒成立，再利用导数求函数H（x）的单调性，检验每一种情况下H(x)的最大值是否小于零.

试题解析：

（1）函数定义域为.得，

，即所以.所以，

.函数的单调递减区间是，单调递增区间是.

（2）由题得函数对任意恒成立，

即不等式对任意恒成立.

又，当即恒成立时，

函数递减，设，则，所以，即，符合题意；

当时， 恒成立，此时函数单调递增.于是不等式对任意恒成立，不符合题意；

当时，设，

则 ；

当时， ，此时单调递增，

，

故当时，函数递增.于是当时, 成立，不符合题意；

综上所述，实数的取值范围为： .

点睛:本题的难点在于得到后如何解不等式>0或<0,只有解出了不等式才能得到函数H(x)的单调区间.本题利用了再构造再求导的方法（即二次求导）.当我们求出函数f(x)的导数之后，如果不易解出，可以利用二次求导找不等式的解集，从而找到原函数的单调性.