Question

若函数y=f（x）存在反函数y=f^-1（x），且函数y=tan

πx

6

-f(x)的图象过点(2，

3

-

1

3

)，则函数y=f^-1（x）-（arcsinx+arccosx）的图象一定过点

(

1

3

，2-

π

2

)

．

Answer 1

分析：由函数y=f（x）的反函数为y=f^-1（x），且函数y=tan

πx

6

-f(x)的图象过点(2，

3

-

1

3

)，代入计算出函数y=f（x）的图象过哪一个点，根据原函数与反函数图象的关系，我们易得函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）过什么点，进而得到函数y=f^-1（x）-（arcsinx+arccosx）的图象过的定点．

解答：解：∵函数y=tan

πx

6

-f(x)的图象过点(2，

3

-

1

3

)，
∴

3

-

1

3

=tan

π

3

-f（2）
即f（2）=

1

3

即函数y=f（x）的图象过点（2，

1

3

）
则函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）过（

1

3

，2）点
∴函数y=f^-1（x）-（arcsinx+arccosx）的图象一定过点(

1

3

，2-

π

2

)，
故答案为：(

1

3

，2-

π

2

)．

点评：本题考查的知识点是函数的图象及图象的变化，处理本题的核心是：互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称，具体为：函数y=f（x）的图象过（a，b）点，则函数y=f（x）存在反函数y=f^-1（x）的图象过（b，a）点．