Question

给定椭圆：。称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”。若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为。

（Ⅰ）求椭圆的方程和其“准圆”方程。

（Ⅱ）点是椭圆的“准圆”上的一个动点，过动点作直线使得与椭圆都只有一个交点，且分别交其“准圆”于点。

⑴当为“准圆”与轴正半轴的交点时，求的方程；

⑵求证：为定值。

Answer 1

解：（Ⅰ）。椭圆方程为，…………2分

准圆方程为。                             …………………………3分

（Ⅱ）⑴因为准圆与轴正半轴的交点为，

设过点且与椭圆有一个公共点的直线为，

所以由消去，得。

因为椭圆与只有一个公共点，

所以，解得。     …………………………5分

所以方程为。                …………………………6分

⑵①当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，

因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为，

当方程为时，此时与准圆交于点，

此时经过点（或）且与椭圆只有一个公共点的直线是（或），

即为（或），显然直线垂直；

同理可证方程为时，直线垂直。        …………………………7分

②当都有斜率时，设点，其中。

设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，

则消去，得。

由化简整理得：。…………………………8分

因为，所以有。

设的斜率分别为，因为与椭圆只有一个公共点，

所以满足上述方程，

所以，即垂直。                      …………………………10分

综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点，且垂直，所以线段为准圆的直径，所以=4.         ………12分