题目内容
给定椭圆
：
，称圆心在坐标原点
，半径为
的圆是椭圆的“伴随圆”． 已知椭圆的两个焦点分别是
，椭圆上一动点
满足
．
（Ⅰ）求椭圆及其“伴随圆”的方程；
（Ⅱ）过点P
作直线
,使得直线与椭圆只有一个交点，且截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为
．求出
的值．
【答案】
（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】 （1）中据椭圆定义及伴椭圆定义容易求出方程；
（2）线
与椭圆
只有一个交点即直线与椭圆相切，
，
截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为
，利用直线与圆弦心距，点到直线距离公式，表示出弦长
解：（Ⅰ）由题意得：
得
，半焦距
．．．．2分
则
椭圆的方程为
“伴随圆”的方程为
（Ⅱ）设过点
，且与椭圆有一个交点的直线
为
，
则 
整理得
．．．．．．．．．2分
所以
，解
①．．．．．．．．4分
又因为直线截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为，
则有
化简得
② ．．．．6分
联立①②解得，
，所以
练习册系列答案
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：
，称圆心在原点
，半径为
的圆是椭圆
，且其短轴上的一个端点到
的距离为
.
是椭圆
，使得
：
，称圆心在原点
，半径为
的圆是椭圆
，其短轴上的一个端点到
的距离为
.
是椭圆
使得
，求证：
为定值.
：
，称圆心在原点
，半径为
的圆是
，其短轴上的一个端点到
的距
.
是椭圆
使得
；
轴正半轴的交点时，求
为定值.
：
，称圆心在坐标原点
，半径为
的圆是椭圆
，椭圆
满足
．
作直线
,使得直线
．求出
的值．