Question

设曲线y=

ax3

3

+

1

2

bx2+cx在点x处的切线斜率为k（x），且k（-1）=0，对一切实数x，不等式x≤k(x)≤

1

2

(x2+1)恒成立（a≠0）．
（1）求k（1）的值；
（2）求函数k（x）的表达式．

Answer 1

分析：（1）先求出函数k（x）的解析式，然后根据对一切实数x，不等式x≤k(x)≤

1

2

(x2+1)恒成立，令x=1，即可求出k（1）的值；
（2）根据k（1）与k（-1）的值将b求出，将c用a表示，转化成ax2+

1

2

x+c≥x与，ax2-

1

2

x+c≥0恒成立，利用判别式进行建立不等关系，解之即可．

解答：解：（1）解：k（x）=ax²+bx+c，∵x≤k(x)≤

1

2

(x2+1)，
∴1≤k(1)≤

1

2

(1+1)=1，∴k（1）=1
（2）解：

k(-1)=0 k(1)=1

?

a-b+c=0 a+b+c=1

∴

b= 1 2 a+c= 1 2

∵k（x）≥x∴ax2-

1

2

x+c≥0，△=

1

4

-4ac≤0，
∴

1

4

-4a(

1

2

-a)≤0?(4a-1)2≤0
ax2+

1

2

x+c≥x
即∴a=c=

1

4

∴k(x)=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

=

1

4

(x+1)2

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题等有关基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想，属于基础题．