Question

设曲线y=

ax3

3

+

1

2

bx²+cx在点x处的切线斜率为k（x），且k（-1）=0，对一切实数x，不等式x≤k(x)≤

1

2

(x2+1)恒成立（a≠0）．
（1）求k（1）的值；
（2）求函数k（x）的表达式；
（3）求证：

n

i=1

1

k(i)

＞

2n

n+2

．

Answer 1

分析：（1）根据题意，在恒成立的不等式x≤k(x)≤

1

2

(x2+1)中，令x=1，可得1≤k（1）≤1，即可得答案；
（2）先对曲线方程求导可得k（x）=ax²+bx+c，已知k（-1）=0和由（1）求得的k（1）=1，可得关于a、b、c的关系式，又由x≤k(x)≤

1

2

(x2+1)恒成立，对x≤k(x)≤

1

2

(x2+1)变形可得，ax²+

1

2

x+c≥0且（2a-1）x²+1x+（2c-1）≤0恒成立；根据二次函数的性质，可得关于ac的关系式，联系可得a、b、c的值，即可得k（x）的表达式；
（3）由（2）得到的k（x）的表达式，可得则

1

k(x)

=

4

(x+1)2

，由不等式的性质，可得则

4

(x+1)2

＞

4

x(x+2)

=2（

1

x

-

1

x+2

），即可得

1

k(n)

＞2（

1

n

-

1

n+2

）；代入则

n

i=1

1

K(i)

=

1

K(1)

+

1

K(2)

+…+

1

k(n)

中，运用放缩法，可证明不等式．

解答：解：（1）根据题意，对一切实数x，不等式x≤k(x)≤

1

2

(x2+1)恒成立，
则当x=1时，有1≤k（1）≤

1+1

2

=1，
即1≤k（1）≤1，
则k（1）=1
（2）对曲线方程求导可得k（x）=ax²+bx+c，
k（-1）=0，则a-b+c=0------①
由（1）得，k（1）=1，则a+b+c=1------②
由①②得a+c=

1

2

，b=

1

2

；
则k（x）=ax²+

1

2

x+c，
又由x≤k(x)≤

1

2

(x2+1)恒成立可得，
ax²-

1

2

x+c≥0且（2a-1）x²+1x+（2c-1）≤0恒成立；
由ax²+

1

2

x+c≥0恒成立可得a＞0，

1

4

≤4ac，
由（2a-1）x²+1x+（2c-1）≤0恒成立可得（2a-1）＜0，1≤4（2a-1）（2c-1）
得0＜a＜

1

2

，且

1

16

≤ac≤

1

16

ac=

1

16

，
且a+c=

1

2

，则a=c=

1

4

，
则k（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

=

1

4

（x+1）²；
证明：（3）由（2）可得k（x）=

1

4

（x+1）²，则

1

k(x)

=

4

(x+1)2

＞

4

x(x+2)

=2（

1

x

-

1

x+2

），
即

1

k(n)

＞2（

1

n

-

1

n+2

）；
则

n

i=1

1

K(i)

=

1

K(1)

+

1

K(2)

+…+

1

k(n)

＞2（1-

1

3

）-2（

1

2

-

1

4

）+…+2（

1

n

-

1

n+2

）＞2（1-

1

n+2

）＞

2n

n+2

；
即不等式可证．

点评：本题综合考查函数的恒成立问题、曲线的切线方程以及放缩法证明不等式，难度较大；解（Ⅱ）题时要注意二次函数大于等于0恒成立的条件．