Question

如图：正方形ABCD的两顶点C、D在圆O上，CE是圆O的直径，AE⊥平面CDE，且AE=3，CE=9．
（I）设点B在平面CDE上的射影为F，求证：点F在圆O上；
（II）求二面角D-BC-E的大小；
（III）求点C到平面BDE的距离．

Answer 1

分析：（I）连接DE，过C作CF∥DE，交圆O于F，连接EF，BF．四边形CDEF为圆内接矩形，证出CD∥EF，CD=EF，又ABCD是正方形ABCD可以证出四边形ABEF为平行四边形．得出AE∥BF，由于AE⊥平面CDE，所以BF⊥平面CDE，F为点B在平面CDE上的射影
（II）过点E作EF⊥AD于点F，作FG∥AB交BC于点G，连接GE，根据二面角平面角的定义可知∠FGE是二面角D-BC-E的平面角，在Rt△EFG中，求出此角的正切值即可．
（III）利用等体积法V _C-BDE=V _B-CDE，求解．

解答：（I）证明：连接DE，过C作CF∥DE，交圆O于F，连接EF，BF．
则四边形CDEF为圆内接矩形．
∴CD∥EF，CD=EF，又ABCD是正方形ABCD，
∴CD∥AB，
∴EF∥AB，EF=AB，
∴四边形ABEF为平行四边形．∴AE∥BF
∵AE⊥平面CDE，
∴BF⊥平面CDE，F为点B在平面CDE上的射影，点F在圆O上
（II）解：CD⊥平面ADE，DE?平面ADE，
∴CD⊥DE．
∴CE为圆O的直径，即CE=9．
设正方形ABCD的边长为a，
在Rt△CDE中，DE²=CE²-CD²=81-a²，
在Rt△ADE中，DE²=AD²-AE²=a²-9，
由81-a²=a²-9，解得，a=3

5

．
∴DE=

AD2-AE2

=6．
过点E作EF⊥AD于点F，作FG∥AB交BC于点G，连接GE，
由于AB⊥平面ADE，EF?平面ADE，
∴EF⊥AB．
∵AD∩AB=A，
∴EF⊥平面ABCD．
∵BC?平面ABCD，
∴BC⊥EF．
∵BC⊥FG，EF∩FG=F，
∴BC⊥平面EFG．
∵EG?平面EFG，
∴BC⊥EG．
∴∠FGE是二面角D-BC-E的平面角．
在Rt△ADE中，AD=3

5

，AE=3，DE=6，
∵AD•EF=AE•DE，
∴EF=

AE•DE

AD

=

3×6

3 5

=

6 5

5

．
在Rt△EFG中，FG=AB=3

5

，
∴tan∠EGF=

EF

FG

=

2

5

．
故二面角D-BC-E的平面角的正切值为

2

5

．
（III）解：

在RT△BEF中，BE=

EF2+BF2

=3

6

，S _RT△BDE=

1

2

×6×3

6

=9

6

S _RT△CDE=

1

2

×3

5

×6=9

5

设求点C到平面BDE的距离为h，
由于V _C-BDE=V _B-CDE，即

1

3

S _RT△CDE×BF=

1

3

S _RT△BDE×h，

1

3

×9

5

×3=

1

3

×9

6

×h，
所以h=

30

6

点评：本题考查直线和平面位置关系，二面角求解，点面距离．考查空间想象能力、推理、计算能力．