题目内容
在数列{an}中，
，若函数f（x）=x3+1在点（1，f（1））处切线过点（an+1，an）．（1）求证：数列
为等比数列；（2）求数列{an}的通项公式和前n项和公式Sn．
【答案】分析：（1）利用导数的几何意义求出切线方程，从而得到an+1与an的关系，并利用待定系数法整体构造等比数列；
（2）利用（1）求出数列
的通项公式，继而得到数列{an}的通项公式，观察通项特征，选择求和方法．
解答：解：（1）因为f′（x）=3x2，所以切线的斜率为k=3，切点（1，2），
切线方程为y-2=3（x-1）即3x-y-1=0…2分
又因为过点（an+1，an），所以3an+1-an-1=0，
即3an+1=an+1①…4分
所以
即
即
，
即数列
为一等比数列，公比为
…6分
（2）由（1）得
为一公比为
，
的等比数列．
则
，∴
，…10分
…12分
点评：本题综合考查了函数与数列问题，对形如an+1=pan+q的整体构造和不同性质数列分组求和是本题解决的关键．
（2）利用（1）求出数列
的通项公式，继而得到数列{an}的通项公式，观察通项特征，选择求和方法．解答：解：（1）因为f′（x）=3x2，所以切线的斜率为k=3，切点（1，2），
切线方程为y-2=3（x-1）即3x-y-1=0…2分
又因为过点（an+1，an），所以3an+1-an-1=0，
即3an+1=an+1①…4分
所以
即
即
，即数列
为一等比数列，公比为
…6分（2）由（1）得
为一公比为
，
的等比数列．则
，∴
，…10分
…12分点评：本题综合考查了函数与数列问题，对形如an+1=pan+q的整体构造和不同性质数列分组求和是本题解决的关键．
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