Question

已知

m

=（1，1），向量

m

与

n

的夹角为

3π

4

，且

m

•

n

=-1．
（1）求向量

n

；
（2）若

n

与

q

=（1，0）的夹角为

π

2

，

p

=（cosA，2cos²

C

2

）其中A、C为△ABC的内角，且A+C=

2π

3

，求|

n

+

p

|的最小值．

Answer 1

分析：（1）设出向量

n

=(x，y)，根据数量积的定义及坐标运算分别得出两个方程，解出即可；
（2）根据向量的运算及三角运算得出|

n

+

p

|关于角A的三角表达式，再利用三角函数的单调性即可求出其最小值．

解答：解：（1）设向量

n

=(x，y)，∵

m

=（1，1），向量

m

与

n

的夹角为

3π

4

，且

m

•

n

=-1．
∴

m

•

n

=x+y=-1，x+y=|

m

| |

n

|cos＜

m

，

n

＞=

x2+y2

×

2

×cos

3π

4

=-

x2+y2

，
即

x+y=-1 x2+y2=1

，解得

x=-1 y=0

或

x=0 y=-1

，
∴

n

=(-1，0)或（0，-1）．
（2）∵

n

与

q

=（1，0）的夹角为

π

2

，∴

n

=（0，-1），
∴|

n

+

p

|=|(cosA，2cos2

C

2

-1)|=|（cosA，cosC）|，
∴|

n

+

p

|2=cos²A+cos²C=

1+cos2A

2

+

1+cos2C

2

=1+

1

2

[cos2A+cos(

4π

3

-2A)]（∵A+C=

2π

3

，∴2C=

4π

3

-2A）
=1+

1

2

[cos2A-

1

2

cos2A-

3

2

sin2A]
=

1

2

cos(2A+

π

3

)+1．
∵A∈(0，

2π

3

)，∴(2A+

π

3

)∈(

π

3

，

5π

3

)．
当2A+

π

3

=π时，即A=

π

3

时，cos(2A+

π

3

)=-1，|

n

+

p

|取得最小值，即|

n

+

p

|2min=-

1

2

+1，
∴|

n

+

p

|min=

2

2

．

点评：熟练掌握向量和三角函数的运算及性质是解题的关键．