题目内容
（2013•河池模拟）已知数列{an}满足a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an（n∈N+）
（1）证明：数列{an+1-an }是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
（1）证明：数列{an+1-an }是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
分析：（1）将已知的递推关系变形，利用等比数列的定义，证得数列{an+1-an}成等比数列．
（2）利用等比数列的通项公式求出an+1-an=2n，然后根据an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1求出数列{an}的通项公式．
（2）利用等比数列的通项公式求出an+1-an=2n，然后根据an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1求出数列{an}的通项公式．
解答：解：（1）证明：∵an+2=3an+1-2an
∴an+2-an+1=2（an+1-an）
又a1=1，a2=3
即
=2
∴数列{an+1-an}是以2为 首项，2为公比的等比数列
（2）由（1）知an+1-an=2n
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1
=2n-1+2n-2+…+2+1
=2n-1
∴an+2-an+1=2（an+1-an）
又a1=1，a2=3
即
| an+2-an+1 |
| an+1-an |
∴数列{an+1-an}是以2为 首项，2为公比的等比数列
（2）由（1）知an+1-an=2n
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1
=2n-1+2n-2+…+2+1
=2n-1
点评：本题考查证明数列是等比数列常用数列的方法：是定义法与等比中项的方法；注意构造新数列是求数列的通项的常用的方法．
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